Kvjat je po Vitaliju Petrovu postal drugi ruski dirkač v kraljici motošporta, ko je leta 2014 sedel v toro rosso. Sezono je odlično začel, na prvih petih tekmah je trikrat osvojil točke za svetovno prvenstvo, na naslednjih petih pa je kar štirikrat odstopil. Vseeno je storil dovolj, da si je leta 2015 prislužil sedež pri Red Bullu.

Menjava Kvjat-Verstappen obrodila sadove
Tistega leta je na Hungaroringu osvojil odlično drugo mesto, kar je do danes še vedno njegova najboljša uvrstitev v elitnem razredu motošporta. Svetovno prvenstvo je sklenil na sedmem mestu, veliko si je obetal od sezone 2016, v kateri pa je nato storil ogromno napak. Po dveh velikih napakah pri zaviranju, po katerih je uničil dirko za VN Rusije Sebastianu Vettlu, mu je pri Red Bullu odbila še zadnja ura. Moštvo se je odločilo za menjavo, Rusa je poslalo v Toro Rosso, iz italijanskega moštva pa je pripeljalo Maxa Verstappna. Odločitev, ki se je izkazala za zadetek v polno, saj je že na naslednji dirki Nizozemec zmagal na dirki za VN Španije v Barceloni.

Kvjat je sezono sklenil na 14. mestu, obdržal je sedež pri Toru Rossu, a v letu 2017 še vedno storil veliko napak, ekipa se ga je dokončno rešila po odstopu v Singapurju.

V Avstralijii se je izkazal z 10. mestom
Ko je že kazalo, da je Kvjatove kariere v formuli ena konec, je odjeknila novica, da si je za sezono 2019 znova zagotovil dirkaški sedež pri Toru Rossu. Dirkač iz Ufe je na uvodni dirki letošnje sezone v Melbournu nase opozoril z odlično predstavo. Sicer je enkrat storil veliko napako in zavil s steze v peščeno izletno območje, a osvojil je 10. mesto, s tem pa tudi zadnjo točko za svetovno prvenstvo. Na drugi strani je Red Bullov dirkač Pierre Gasly razočaral, bil je šele 11., zato obstaja možnost, da bi ga Kvjat v nadaljevanju sezone, če se Francoz ne izkaže, utegnil zamenjati.

Alešin: Toro Rosso ni Red Bull ali Ferrari
Med tistimi, ki je prepričan, da se to utegne zgoditi, je ruski dirkač Mihail Alešin, ki tekmuje v Le Mansu in svetovnem vzdržljivostnem prvenstvu, leta 2011 mu je skoraj supel preboj v formulo ena. "Težko si je razlagati, zakaj je Gasly dirkal tako slabo. Če bo Kvjat nadaljeval predstave, kakršno je prikazal v Melbournu, si lahko obetamo napredovanje v moštvo Red Bull. Seveda se zavedam, da so tovrstna ugibanja preuranjenja, a za zdaj mu dobro kaže," je za ruski Sportbox povedal Alešin, ki od torov rossov letos ne pričakuje kakšnih vidnejših rezultatov. "Dvomim, da bosta tora rossa dosegla kaj višja mesta, kot na uvodni dirki. Toro Rosso pač ni Red Bull ali Ferrari. Vseeno pa lahko s pravimi nadgradnjami in brez tehničnih težav osvaja točke z uvrstitvijo med najboljših deset," je dodal.