Za Dinamo je med letoma 1971 in 1981 odigral 384 tekem, pozneje pa je Dinamo vodil tudi kot trener, s katerim je v sezoni 2005/06 osvojil naslov prvaka.

V trenerski karieri je Kuže vodil številne domače in tuje klube, bil pa je tudi selektor Ruande in Albanije. Kuže je bolehal za levkemijo.

"Spominjal me je na Arsena Wengerja, ki prav tako nikoli ni povzdignil glasu v garderobe, niti po zmagi niti po porazu," se Josipa Kužeja spominja Davor Šuker, najboljši strelec svetovnega prvenstva leta 1998.