Gregor Pavlič je idejo za knjigo razvijal več kot 40 let. Foto: MMC RTV SLO/Miloš Ojdanić

Matematik in učitelj Gregor Pavlič je nedavno napisal knjigo Na vrtiljaku števil, ki se na eni strani ukvarja z naravo števil, na drugi pa našteva zanimiva zgodovinska dejstva, ki se povezujejo s posameznimi matematičnimi spoznanji. Tokrat smo na podkastu Številke na pogovor povabili Gregorja Pavliča, vabljeni k branju povzetka in poslušanju celotnega pogovora.

Vabljeni k branju in poslušanju

Velik del svojega življenja ste posvetili matematiki (tako izobrazbi kot pedagoškemu prenašanju matematičnih spoznaj). Kdaj ste spoznali, da bo matematika del vas?
Moja sestra je študirala matematiko, bila je pet let starejša od mene. Generacijsko sem vedno capljal za njo. Srečeval sem se z njenimi kolegi, nekateri so postali slavni profesorji s fakultete Pisanski, Batagelj ... Tako sem dobil boljši vpogled v matematiko. V 3. letniku gimnazije sem tako že vedel, da jo bom študiral, a prepričan sem bil, da bom izbral tehnično matematiko. V 3. letniku sem dobil novega razrednika Aleksandra Cokana, bil je bil izjemen pedagog. S svojo osebnostjo me je navdušil, da sem izbral pedagoško matematiko.

Marsikateri otrok ima predsodek do matematike, zato je še toliko pomembneje, da učitelj zna motivirati učence. Foto: MMC RTV SLO

Učitelji, pedagogi in vzgojitelji so izjemno pomembni, da pri učencih znajo vzbuditi ljubezen do proučevane tematike. Človek mora imeti nekaj v sebi.
Najboljša motivacija se zgodi s samo osebnostjo. Nekdo, ki gori za svoj predmet, s svojo pristnostjo in poštenostjo naredi največ. Bolj kot se spominjam, bolj mi ostanejo v spominu profesorji, ki so bili izjemni pedagogi, izjemni ljudje, topli, strokovni ... Znali so motivirati, a mi takrat sploh nismo vedeli, da to počnejo.

To je najbrž za učitelja tudi naporno. Sami ste 42 let poučevali matematiko na Gimnazijah Vič in Škofijski klasični gimnaziji. Najbrž je težko v celotni dobi in birokraciji v sebi imeti ta žar ali je to preprosto del vas?
Sebe težko ocenjujem. Zdi pa se mi, da imam v sebi ta žar. Še vedno sem navdušen nad matematiko, rad berem poljudne članke, najnovejše strokovne literature pa ne spremljam več. Vedno, kadar dobim kakšno novo informacijo, me to navduši in grem poizvedovat. Še kar nova informacija je, kako so Babilonci znali izračunati tir planeta, ki naredi obrat. To so odkrili v najnovejši raziskavi klinopisa, prej tega niso prepoznali. Zdaj ugotavljajo, da so bili na tem področju ogromno pred časom. To preberem, morda iz tega naredim kakšen članek za Življenje in tehnika, to me res veseli.

Knjiga je polna matematičnih zgodb, med katerimi je tudi genialna rešitev (takrat še) dečka Gaussa, kako je bliskovito seštel števila od 1 do 100. Foto: Wikipedia

To se še kako pozna pri vaši knjigi, ki ni zgolj matematična, ampak je prepletena s številnimi zanimivimi zgodbami matematikov. Zgodbe postavljate v določeni čas in prostor.
Morda po ljudskem prepričanju nisem najbolj tipičen matematik. Ne gledam samo v knjige. Zdi se mi, da sem razgledan tudi na drugih področjih, veselijo me zgodovina, filozofija, glasba ... Iz teh razlogov mi je všeč matematika v kontekstu, v življenju, ker je dejansko prisotna povsod. Težko se je izogniti enemu področju, kjer ne bi bilo matematike, prisotna je v vsaki znanosti.

Kaj je bil glavni motiv, da ste se lotili pisanja te knjige?
Ta knjiga se je pisala od začetka mojega učiteljevanja. Začelo se je tako, da smo imeli na fakulteti izbirni predmet zgodovino matematike. Ta predmet me je izjemno navdušil, iz seminarske naloge sem naredil prvi članek za Presek. Iz honorarja za ta članek sem iz Amerike kupil dve debeli knjigi o zgodovini matematike. Tako sem pronical v materijo. Ko to človeka nekako zagrabi, težko pride iz tega ven. To mi je bil vir motivacijskih vložkov pri pouku. Ko je bilo treba kaj posebej poudariti ali ko so se dijaki spraševali, zakaj bodo potrebovali to znanje, sem jim predstavil kak tak zgodovinski vložek. Tako se je nabiral material. Pred približno desetimi leti je bilo tega že veliko, takrat sem dobil zamisel, da bi to morda objavil v knjigi. Mogoče je bilo malce predrzno, a mi je uspelo.

Umetnik Simon Gudgeon pred svojo skulpturo v Londonu, pri kateri je upošteval Fibonaccijevo zaporedje. Foto: AP

Pri tem pogovoru so sodelovali tudi bralci in poslušalci. Boris vas sprašuje za številke, ki so bile za določeno zgodovinsko obdobje najpomembnejše za človeštvo? Sam dodajam, da je bilo to najbrž vezano na številski sistem, ki so ga posamezna ljudstva uporabljala.
Seveda, v času starih kultur je bilo zelo zanimivo, da so Babilonci in Sumerci pisali vsa števila v šestdesetiškem sistemu in to samo z dvema znakoma. Pisali so z zaobljeno deščico stilos. Če so odtisnili postrani, je to pomenilo 10, če pa od vrha, je to pomenilo 1. Na ta način so pisali vsa števila. Za 0 so pustili prazen prostor, znaka za 0 niso poznali. To je bilo zahtevno, ker šestdesetiški sistem ni preprost. Egipčani so pisali s slikovno pisavo, Rimljani so pisali s pomočjo abecede. To so glavni načini pisanja, dokler niso prišli Indijci s fascinantnim načinom pisanja števil, to so naše števke. Fibonacci je uporabil izraz Modus Indorum. Rimske številke so se dolgo obdržale, ker se je dalo z indijskimi števili precej goljufati v trgovini. Iz 0 se je dalo narediti 6 ali 9. Trgovska združenja so z zakonom prepovedala uporabo zdaj naših števil. Šele okrog let 1550‒1600 so popolnoma prevladale arabske številke. Trgovski ceh je moral popustiti.

Indijci niso izumili le 'arabskih' števil, izumili so tudi nekaj, kar je danes jasno vsakemu šolarju, včasih pa ni bilo tako, to je število 0.
Prvi so zapisali število 0. Do takrat se je pustil prazen prostor. Znak za število 0 so sicer poznali tudi Maji. V zgodovini je bilo težko, ker so številke vedno obravnavali v smislu količine, recimo čas, dolžina ali masa. Zakaj bi za nič uporabljali znak, če je nič nič? Če človek razmišlja, je to na neki način logično. Zanimivo je za Arabce, ker so pisali pozicijsko in so morali nadomestiti prazen prostor. Napisali so krogec, ki je najbrž nastal iz besede ouden, kar pomeni prazen prostor.

Pavlič je z marsikatero zanimivostjo iz knjige želel motivirat svoje dijake. Foto: MMC RTV SLO/Miloš Ojdanić

Ničla prinese tudi cela števila (ki jih dobimo, ko naravna števila preslikamo čez 0).
S celimi števili so bile zelo velike težave še okrog leta 1600. Nekateri matematiki niso priznavali rešitev enačb, če so bile rešitve negativne. V knjigi opisujem primer znanstvenika, ki je vse matematike, ki so priznavali negativne rešitve, opisal kot slaboumne. To, kar nam je danes normalno, da je lahko nekaj pod ničlo, da imamo dolgove, v geografiji depresijo, to je danes sprejeto. Za učence je negativno število zgolj znak, o tem se ne razmišlja. Po eni strani je to prav.

Igor Rakuša pa vas sprašuje, katera matematična lastnost se vam zdi najtežje doumljiva, da deluje, kot da je skregana z logiko.
Negativna števila in 0 sodita sem. Velika težava je z neskončnostjo, v knjigi je precej govora o neskončnosti, saj obstaja več vrst neskončnosti. O tem so se začeli pogovarjati okrog leta 1900, ko je matematika doživljala strašen razvoj. Nekatere stvari so se rušile, rojevali so se novi pojmi. Prišlo je do tega, da je Georg Cantor ugotovil, da je neskončnosti več vrst, nekateri so ga imeli za bedaka. Dejansko je končal v bolnišnici za duševne bolezni, ker so mu metali polena pod noge, to ga je zelo prizadelo.

Tudi Einstein je bil med tistimi, ki so iskali poenoteno teorijo vsega. Foto: UNHCR

Neskončnost, singularnost ... to so dejansko ogromni problemi v fiziki, ki še vedno neuspešno išče poenoteno teorijo/enačbo vsega.
Okrog leta 1900 je bilo odkrito, da matematika ni popolna, da obstajajo trditve, ki so hkrati res in ne. Primer je znana zgodba o brivcu, ki brije samo tiste, ki ne brijejo sebe. To je slavna Russllova antinomija. Te vrste pojavov so nekaterim spodnesle noge.

Včasih je težko doumeti, kaj je res, in kaj ne.
Nekaterih stvari se preprosto ne da dokazati. Zelo znana je hipoteza kontinuuma, to je prva hipoteza na spisku 23 Hilbertovih hipotez, ki jih je postavil na svetovnem kongresu v Parizu na začetku prejšnjega stoletja. O tej hipotezi še danes ni jasnega mnenja, ali je to res hipoteza, ali bi se s tem ukvarjali ali ne. Vprašanje je, ali obstaja množica, ki ima manj elementov kot množica realnih števil in več elementov kot množica naravnih števil. Obe sta kardinalni števili, zanima nas, če je kaj vmes. Hilbert pravi, da ni, a za zdaj se tega ne da dokazati.

Največje najdeno praštevilo ima več kot 22 milijonov mest

V knjigi pišete tudi o praštevilih (tudi v tej oddaji smo že govorili o njih). Zakaj je ta skupina števil tako zanimiva?
Iz praštevil sem tudi diplomiral in magistriral. Njihova lastnost je, da imajo samo dva delitelja, sebe in 1. Iz tega sledi veliko lastnosti, produkt dveh praštevil je ogromno število, ko ga dobite, je težko nazaj dobiti oba faktorja. To se uporablja v kriptografiji, odprtokodni algoritem RSA uporablja tako velika praštevila, da dober računalnik ne razbije faktorizacije v doglednem času, medtem pa se koda že zamenja. Obstajajo podjetja, ki dejansko prodajajo praštevila.

Obstajajo različna števila (popolna, osamljena, čudna ...). Katera vrsta števil vam je še všeč?
Ljudje, ki imajo veselje do matematike in števil, najdejo kakšno lastnost ali pa si jo izmislijo in nato preverjajo, ali imajo števila to lastnost. Teh stvari je veliko. Meni so ljuba Fibonaccijeva števila, so zelo povezana z naravo, glasbo, umetnostjo ... Vse, kar je v povezavi z zlatim rezom, je v zvezi s Fibonaccijem. Zaporedje količnikov dveh zaporednih Fibonaccijevih števil teži proti zlatemu rezu, ki je 1,618 ... oziroma (1 + √5) / 2. Zlati pravokotnik je tista oblika, ki je najbolj všečna očesu. Zato so vsi templji narejeni v zlatem rezu, enako velja za znamke, razne kartice ... Vse, kar je oblikovalskega in lepega, avtomatsko mora biti v tem razmerju.

Jože Plečnik je velikan slovenske arhitekture. Foto: BoBo

V knjigi omenjate tri Slovence, eden od teh je arhitekt Jože Plečnik, ki je v številih videl nekaj več, skoraj mističen pomen.
Vse module svojih zgradb je gradil na gematriji. Te materije ne poznam dobro, ker je malce skrivnostna in se ne dobi veliko literature. V knjigi omenjam cerkev sv. Mihaela na Barju. Vse razdalje med okni, odprtinami so narejene po principih gematrije. Vsaki črki pripada neko število. Tako iz besede M I H A E L dobi neko število, po katerem se naredil modul za neko razdaljo v cerkvi. Ta cerkev na Barju ima ogromno te gematrije. Celo iz Svetega pisma ima vtkane odlomke. Plečnik je bil fascinanten, zelo znan je kot arhitekt, bil pa je tudi neke vrste mistik, ne ve se veliko, da je upošteval gematrijo.

Po Vegi se imenuje eden od kraterjev na Luni. Foto: Nasa

Omenjate tudi Jurija Vego, prvaka logaritmov in več kot pol stoletja svetovnega rekorderja po največjem številu izračunanih decimalk števila π.
Jurij Vega je znan, kljub vsemu pa premalo cenjen. Napisal je znane logaritemske tabele, ki so jih ponatiskovali še dolga stoletja. Logaritme je zapisal kar na 12 mest, za vsako odkrito napako je obljubljal zlat cekin. Odraščal je v težkih razmerah, od ubogega fantiča je postal baron. Najbrž ni imel zelo srečnega življenja, ne ve se niti, kako je umrl. Našli so ga utopljenega v Savi, ne ve pa se, ali je naredil samomor ali so mu pri tem 'pomagali'. Je velik Slovenec, po njem se imenuje krater na Luni.

Število π je v zadnjih letih prišlo v popularno kulturo, obstajajo tudi tekmovanja v pomnenju teh decimalk.
To zdajšnji mladini manjka. Pomnjenje na pamet ne pomeni le 'neumno' učenje, ampak razvija možgane. Danes je vse dostopno na telefonu, zato si ne zapomnimo niti telefonskih številk več. Zaradi tega možgani stagnirajo.

France Rode je bil leta 2012 gost oddaje Nedeljski gost.

Zadnji omenjeni Slovenec je France Rode.
Doktor France Rode je v Sloveniji premalo znan, umrl je pred dvema letoma. Takoj po študiju je odšel v ZDA, kjer je opravil doktorat. Bil je zelo neugnan znanstvenik. Zaposlil se je v podjetju Hewlett Packard (zanima je zgodba, kako sta Hewlett in Packard žrebala, ali se bo podjetje imenovalo HP ali PH). Rode je dobil nalogo, da mora narediti kalkulator, ki bo šel v Packardov žep na srajci. To mu je tudi uspelo, to je bil slavni HP35, bil je res izvrsten kalkulator. Pred nekaj leti smo Rodeta povabili v šolo. Povedal je, da je imel ob predstavitvi polno dvorano novinarjev. Ti so bili skeptični nad plastično obliko, zato mu je prišlo na misel in kalkulator vrgel po tleh, pobral ga je in je bil cel.

Vabljeni k poslušanju celotnega pogovora (kliknite na spodnjo sliko), v kateri Gregor Pavlič govori o svojih izkušnjah iz poučevanja, mature, o tem, kako številke vplivajo na vpis na fakultete, rubriki Lepa beseda lepo mesto najde, prvem ohranjenem zapisu števil pred 35.000 leti, Stieglerjevem zakonu, fascinantni zgodbi Sophie Germain ...