Elsner je nogometno pot začel v Ljubljani pri Slovanu, nato pa ga je pot vodila v Olimpijo. Za zmaje je debitiral marca leta 1978 in v sedmih sezonah odigral 112 tekem in dosegel 12 zadetkov.

Uveljavil se je kot eden izmed najboljših branilcev v nekdanji državi, tako da je leta 1983 prestopil k beograjski Crveni zvezdi. Tam je preživel štiri sezone in odigral 128 tekem. Z rdeče-belimi je osvojil en naslov prvaka in en pokalni naslov. V tujini je igral za Nico v Franciji in Admiro v Avstriji.

Z jugoslovansko olimpijsko selekcijo je leta 1984 osvojil bronasto kolajno v Los Angelesu. Za jugoslovansko reprezentanco je odigral 14 tekem. Debitiral je marca leta 1984.

Za Slovenijo je zbral dva nastopa v letih 1992 in 1993. Na obeh prijateljskih tekmah proti Cipru 7. 11. 1992 in Estoniji 7. 4. 1993 je bil kapetan.

Po končani karieri se je podal v trenerske vode.

Njegov oče Branko Elsner je nekdanji trener, zdaj pa po njunih stopinjah stopa tudi Markov sin Luka Elsner, ki je trener Amiensa v Franciji. Nogometaš je tudi drugi Markov sin Rok Elsner.

Marko Elsner je od leta 2017 član hrama slovenskih športnih junakov.

Stojković: Bil je povprečne rasti, a močan in borben kot lev
Nekdanji as Crvene zvezde Dragan Stojković je bil Elsnerjev soigralec in prijatelj. "Žalosten in pretresen sem, ker Marka ni več med nami. Spominjal se ga bom kot dobrega in iskrenega prijatelja. Bil je neverjetno inteligenten igralec. Bil je povprečne rasti, a močan in borben kot lev. Kakšno srce je imel! Prehitro je odšel. Iskreno sožalje družini," je za Kurir povedal "Piksi".

"Nisem vedel, da je bolan. Nikoli se ni pritoževal. Slišala sva se preko telefona. Zadnjič sva se videla v Sloveniji, ko sem bil predsednik Crvene zvezde in smo bili tam na pripravah. Prišel nas je obiskat, bil je velik Zvezdaš."

Tako je Marko Elsner podal Toniju Kurbosu za enega najlepših golov v zgodovini Nice